1. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ( 1789-1821)
2. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ (1902-1947)
3. ЗАДАЧИ НА ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ДВИЖЕНИЕ В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ (1996-2033)
4. ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ (2070-2098)
5. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ (2099-2128)
6. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ (2270-2500)
7. ЧАСТЬ II. ОСНОВНОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Есть ли единообразный метод решения арифметических задач?
8. Часть III. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ 1-4 КЛАСС
1. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ( 1789-1821)
1. Что называется скоростью движения тела?
Скорость движения есть путь пройдённый телом за одну единицу времени.
2. Как найти скорость движения тела?
Чтобы найти скорость движения тела надо расстояние (путь), пройдённое телом, разделить на время, за которое оно пройдено
.
Расстояние пройденное телом равно скорости умноженной на время . Время движения тела равно .
3. Что такое стоимость покупки?
Стоимость покупки С это количество денег за всю покупку.
4. Что называется ценой товара?
Ценой товара называется количество денег за одну единицу товара.
5. Как найти цену товара?
Чтобы найти цену товара надо стоимость всей покупки разделить на количество товара .
6. Что называется производительностью работы?
Производительностью называется работа, выполненная за одну единицу времени.
7. Как найти производительность работы?
Чтобы найти производительность надо всю работу разделит на время, за которое выполнена работа . Вся работа равна производительности умноженной на время . Время работы равно всей работе делённой на производитеьность
ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ( 1789-1821)
1. (1789). Лыжник прошёл дистанцию 24 км за три часа. С какой скоростью он шёл?
Р е ш е н и е .
Если лыжник прошёл дистанцию 24 км, а время в пути три часа, то его скорость была равна 24 : 3 = 8 км/час.
О т в е т: скорость лыжника равна 8 км/час.
2. (1790) Мотоциклист ехал 4 часа со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Р е ш е н и е .
1)Если мотоциклист ехал 4 часа, а его скорость 80 км/ч, то расстояние, которое он проехал равно 80 х 4 = 320 км.
О т в е т: мотоциклист проехал расстояние 320 км.
3. (1791) Лодка проплыла 28 км со скоростью 7 км/ч. Какое время она была в пути?
Р е ш е н и е .
1)Если лодка проплыла 28 км, а скорость 7 км/ч, то в пути она была 28 : 7 = 4 часа.
О т в е т: лодка была в пути 4 часа.
4. (1797) Гепард пробежал 6000 м за 4 минуты. С какой скоростью он бежал?
Р е ш е н и е .
1)Если гепард пробежал 6000 м за 4 минуты, то он бежал со скоростью 6000 : 4 = 1500 км/ч.
О т в е т: гепард бежал со скоростью 1500 км/ч.
5. (1820). За 2 часа вертолёт пролетел 600 км. С какой скоростью летел вертолёт?
Р е ш е н и е .
1)Если вертолёт пролетел 600 км, а время полёта 2 часа, то его скорость 600 : 2 = 300 км/час.
О т в е т: скорость вертолёта 300 км/час.
2. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ (1902-1947)
ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ (1902-1947)
1. (1902) От города до посёлка автобус ехал 2 часа со скоростью 75 км/ч. Сколько времени понадобиться велосипедисту, чтобы проехать этот путь со скоростью 15 км/час?
Р е ш е н и е .
1) Если от города до посёлка автобус ехал 2 часа, а его скорость 75 км/ч, то расстояние от города до посёлка равно 75 х 2 =150 км.
2)Если расстояние от города до посёлка 150 км, а скорость велосепедиста 15 км/ч, то велосипедисту понадобиться
150 : 15 = 10 часов.
О т в е т : велосипедисту понадобилось 10 часов
2. (1904) Автомобилист проехал за два дня 770 км. В первый день он ехал 4 часа со скоростью 80 км/час, во второй он ехал со скоростью 90 км/час. Сколько часов в пути был автомобилист во второй день? Сколько всего часов он был в пути?
Р е ш е н и е .
1)Если автомобилист в первый день был в пути 4 часа, а его скорость была 80 км/час, то он проехал 320 км за первый день.
2)Если автомобилист проехал за два дня 770 км, а в первый день он проехал 320 км, то во второй день он проехал
770 – 320 = 450 км.
3)Если автомобилист проехал во второй день 450 км, а ехал со скоростью 90 км/час, то во второй день он ехал
450 : 90 = 5 часов.
4)Если автомобилист в первый день был в пути 4 часа а ехал со скоростью 90 км/час, а во второй день 5 часов, то всего он был 4+ 5 = 9 часов в пути.
О т в е т: во второй день автомобилист ехад 5 часов; всего он ехал 9 часов
3. (1922) Отряд прошёл 39 км. Первые 3 ч он шёл со скоростью 5 км/час. Остальную часть пути отряд прошёл за 6 ч. С какой скоростью отряд прошёл остальную часть пути?
Р е ш е н и е .
1)Если отряд шёл со скоростью 5 км/час, а время в пути 3 часа, то первая часть пути равна 5 х 3 = 15 км.
2)Если всего отряд прошёл 39 км, а первая часть пути 15 км, то оставшаяся часть пути 39 – 15 = 24 км.
3)Если оставшаяся часть пути 24 км, а время в пути 6 ч, то скорость отряда 24 : 6 = 4 км/ч.
О т в е т: отряд прошёл остальную часть пути со скоростью 4 км/час.
1. (1947) Черепаха проползла 12 м со скоростью 6 м/мин. За это же время улитка проползла 30 см. С какой скоростью двигалась улитка?
Р е ш е н и е .
1) Если черепаха прошла 12 м, а её скорость 6 м/мин, то она затратила 12 : 6 = 2 мин.
2) Если улитка проползла 30 см, а времени прошло 2 минуты, то её скорость была 30 : 2 = 15 см/мин
О т в е т: улитка двигалась со скоростью 15 см/мин
3. ЗАДАЧИ НА ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ДВИЖЕНИЕ В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ (1996-2033)
ЗАДАЧИ НА ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ И ДВИЖЕНИЕ В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ (1996-2033)
1. (1996) Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два лыжника. Через 3 часа расстояние между ними было 60 км. Чему равна скорость второго лыжника, если скорость первого 11 км/час?
Р е ш е н и е .
1) Если скорость первого лыжника 11 км/час, а время движения было 3 часа, то первый лыжник прошёл 11 х 3 = 33 км.
2) Если первый лыжник прошёл 33 км, а расстояние между лыжниками 60 км, то второй прошёл 60 – 33 = 27 км.
3) Если второй лыжник прошёл 27 км за 3 часа, то его скорость была 27 : 3 = 9 км/час.
О т в е т: скорость второго лыжника была равна 9 км/час.
2. (2015). Из гаража одновременно в противоположных направлениях вышли две автомашины. Одна шла со скоростью 50 км/час, а другая – со скоростью 70 км/час. На каком расстоянии друг от друга будут эти машины через 4 ч?
Р е ш е н и е .
1) Если скорость одной машины 50 км/час, а время в пути 4 часа, то расстояние 50 х 4 = 200 км.
2) Если скорость другой машины 70 км/час, а время в пути 4 часа, то расстояние 70 х 4 = 280 км.
3) Если расстояние, которое прошла одна машина 200 км, а расстояние, которое прошла другая машина 280 км, то через 4 часа эти машины друг от друга будут на расстоянии 200 + 280 = 480 км.
О т в е т: машины друг от друга будут на расстоянии 480 км.
3. (2031) Мальчики прошли до деревни 20 км, двигаясь со скоростью 5 км/час, а обратно они ехали на велосипеде в 2 раза быстрее. За сколько часов они проедут это расстояние?
Р е ш е н и е .
1)Если мальчики прошли до деревни 20 км, а двигались они со скоростью 5 км/час, то на дорогу они затратили
20 : 5 = 4 часа.
2)Если на дорогу было затрачено 4 часа, а обратно мальчики ехали в 2 раза быстрее, то они проедут это расстояние за 4 : 2 = 2 часа.
О т в е т: мальчики проедут расстояние за 2 часа.
4. ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ (2070-2098)
ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
(2070-2098)
1. (2070) Две бригады изготовили за смену 128 деталей. Сколько деталей изготовила каждая бригада, если в одной из них 7 человек, а в другой 9 человек?
Р е ш е н и е .
1)Если в одной бригаде 7 человек, а в другой 9, то всего 7 + 9 = 16 человек.
2)Если две бригады изготовили 128 деталей за смену, а в двух бригадах 16 человек, то один человек изготовил 128 : 16 = 8 деталей.
3)Если в первой бригаде 7 человек, а один изготавливает за смену 8 деталей, то первая бригада изготовила 7 ´ 8 = 56 деталей.
4)Если во второй бригаде 9 человек, а один делает за смену 8 деталей, то вторая бригада изготовила 9 ´ 8 = 72 детали.
О т в е т: первая бригада изготовила 56 деталей; вторая бригада изготовила 72 детали.
2. (2087) Две школы выписали на 96 рублей клубничной рассады. Одна школа взяла 3 ящика, а другая 5 ящиков. Сколько должна заплатить каждая школа за рассаду?
Р е ш е н и е .
1) Если одна школа взяла 3 ящика, а другая 5 ящиков, то всего было 3 + 5 = 8 ящиков.
2) Если две школы выписали на 96 рублей клубничной рассады и всего было 8 ящиков то, один ящик стоил 96: 8 = 12 руб/ящ.
3)Если первая школа взяла 3 ящика, а один ящик стоил 12 руб, то первая школа заплатила 12 ´ 3 = 36 руб.
4)Если первая школа взяла 5 ящиков, а один ящик стоил 12 руб, то вторая школа заплатила 12 ´ 5 = 60 руб.
О т в е т: первая школа заплатила 36 руб.; вторая школа заплатила 60 руб.
3. (2097) В двух кусках 24 м сукна. Один кусок стоит 240 долларов, а другой 480 долларов. Сколько метров сукна в каждом куске?
Р е ш е н и е .
1) Если один кусок сукна стоит 240 долларов, а другой 480 долларов, то всего было потрачено 240 + 480 = 720 долларов.
2) Если заплачено 720 долларов за 24 метра ткани, то один метр стоит 720: 24 = 30 долларов/метр.
3)Если один кусок стоит 240 долларов, а всего один метр стоит 30 долларов, то всего в куске 240 : 340 =8 метров.
4) Если один кусок стоит 240 долларов, а один метр стоит 30 долларов, то всего в первом куске 240 : 340 =8 метров.
5) Если второй кусок стоит 480 долларов, а один метр стоит 30 долларов, то всего во втором куске 480 : 30 =16 метров.
О т в е т: в первом куске 8 метров; во втором куске 16 м.
5. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ (2099-2128)
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ (2099-2128)
1. (2099) Собрали 320 кг моркови и 960 кг картофеля. Картофеля получилось на 80 мешков больше, чем моркови. Сколько было мешков картофеля и моркови?
Р е ш е н и е .
1) Если собрали картофеля 960 кг, а моркови 320 кг, то картофеля собрали больше, чем моркови на 960 –320 = 640 кг.
2) Если картофеля собрали на 640 кг больше и это поместилось в 80, то в одном мешке 640 : 80 = 8 кг.
3) Если моркови собрали 320 кг, а в мешке 8 кг, то мешков с морковью было 320 : 8 = 40.
4) Если картофеля собрали 960 кг, а в одном мешке 8 кг, то мешков с картофелем было 960 : 8= 120.
О т в е т: мешков с морковью было 40; мешков с картофелем было 960 : 8= 120.
2. (2100) Мальчик носил воду пятилитровым ведром, а девочка – трехлитровыми. Всего мальчик вылил в бочку на 12 литров больше, чем девочка, причём они сделали одинаковое количество ходок. Сколько литров принёс каждый?
Р е ш е н и е .
1)Если мальчик носил воду пятилитровым ведром, а девочка – трёхлитровыми, то мальчик за один раз приносил на 2 литра больше воды, чем девочка.
2)Если мальчик принёс воду на 12 литров воды больше, а за один раз он приносил на 2 литра больше, то всего было 12 : 2 = 6 ходок.
3)Если девочка носила воду трёхлитровым ведром, а всего приносили было 6 ходок, то девочка принесла 6´ 3 = 18 литров воды.
4)Если мальчик носил воду пятилитровым ведром, а всего приносили было 6 ходок, то мальчик принёс принесла 5 ´ 6 = 30 литров воды.
О т в е т: девочка принесла 18 литров; мальчик принёс принесла 30 литров.
3. (2116) В первом куске 3 м ткани, во втором – 7 м ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей дороже. Сколько стоит каждый кусок?
Р е ш е н и е .
1)Если во втором – 7 м ткани, а в первом куске 3 м ткани, то второй кусок длиннее первого на 7 – 3 = 4 м.
2) Если второй кусок дороже первого на 240 руб и длиннее первого на 4 метра, то один метр стоит 240 : 4 = 60 руб/м.
3)Если в первом куске 3 м ткани, а один метр стоит 60 руб за метр, то первый кусок стоит 60 ´ 3 = 180 руб.
4)Если во втором куске 7 м ткани, а один метр стоит 60 руб за метр, то второй кусок стоит 60 ´ 7 = 420 руб.
О т в е т: первый кусок стоит 180 руб.; второй кусок стоит 420 руб.
4. (2120) С одного участка собрали 25 мешков лука, а с другого 19. Со второго участка собрали на 360 кг меньше. Сколько килограммов лука собрали с каждого участка?
Р е ш е н и е .
1)Если с первого участка собрали 25 мешков лука, а с другого 19, то с первого участка собрали на 25 – 19 = 6 мешков лука больше.
2) Если с первого участка собрали на 6 мешков лука больше и это составляет на 360 кг , то в одном мешке было 360 : 6 = 60 кг в 1мешке.
3) Если с первого участка собрали 25 мешков лука, а
в одном мешке было 60 кг, то всего лука с первого участка собрали 60 ´ 25 = 1500 кг.
4) Если со второго участка собрали 19 мешков лука, а
в одном мешке было 60 кг, то всего лука со второго участка собрали 60 ´ 19 = 1140 кг.
О т в е т: с первого участка собрали 1500 кг. лука; со второго участка собрали 1140 кг.
6. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ (2270-2500)
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ (2270-2500)
1. (2270) Толщина стены 36 см. Оконная рама в 9 раз тоньше стены, а оконное стекло в 20 раз тоньше рамы. Какова в мм толщина оконного стекла?
Р е ш е н и е .
1) Если толщина стены 36 см, а оконная рама в 9 раз тоньше стены, то толщина рамы 36 : 9 = 4 см.
2) Если в одном сантиметре 10 мм, а толщина рамы 4 см, то толщина рамы в мм 4 х 10 = 40 мм.
3) Если толщина рамы 40 мм, а стекло тоньше рамы в 20 раз, то толщина стекла 40 : 20 = 2 мм.
О т в е т: толщина стекла 2 мм.
2. (2275) На товарную станцию доставлено 1755 т угля. Часть этого угля погрузили на 15 вагонов по 45 т в каждый вагон, а весь остальной уголь в 18 вагонов. Какой грузоподъёмности каждый из ‘этих вагонов?
Р е ш е н и е.
1) Если часть угля погрузили на 15 вагонов по 45 т в каждый вагон, то всего погрузили 45 х 15 = 675 т..
2) Если на товарную станцию доставлено 1755 т угля и 675 т погрузили, то осталось ещё 1755 – 675 = 1080 т.
3) Если осталось 1080 т и 18 вагонов, то в каждый погрузили 1080 : 18 = 60 т.
О т в е т: грузоподъемность каждого вагона, в которые погрузили оставшийся уголь, равна 60 т.
3. (2298) Магазин продал 95 м шерсти и 117 м шелка, а ситца в 3 раза больше, чем шерсти и шелка вместе. Сколько метров ситца продал магазин?
Р е ш е н и е .
1) Если магазин продал 95 м шерсти и 117 м шелка, то всего было продано 95 + 117 = 212 м шерсти и шелка.
2) Если шерсти и шелка было продано 212 м, а ситца в 3 раза больше, то ситца было продано 212 х 3 = 636 м.
О т в е т:
4. (2328) На складе было 900 листов железа. Половину этих листов употребили на крышу дома, а пятую часть на крышу сарая. Сколько листов железа осталось?
Р е ш е н и е .
1) Если на складе было 900 листов железа, а половину этих листов употребили на крышу дома, то было использовано
900 : 2 = 450 листов.
2) Если на складе было 900 листов железа, а пятую часть употребили на крышу сарая, то было использовано
900 : 5 = 180 листов.
3) Если на крышу дома употребили 450 листов железа, а на крышу сарая 180 листов, то всего употребили
450 + 180 = 630 листов железа.
4) Если на складе было 900 листов железа, а употребили 630 листов, то на складе осталось 900 – 630 = 270 листов железа.
О т в е т: на складе осталось 900 – 630 = 270 листов железа.
5. Колхоз отправил на элеватор 7 тонн пшеницы. В первый день было отправлено 1348 кг , во второй день в два раза больше, чем в первый, а в третий день колхоз отправил остальную пшеницу. Сколько тонн пшеницы лтправил колхоз в третий день?
Р е ш е н и е .
1) Если в первый день было отправлено 1348 кг , а во второй день в два раза больше, чем в первый, то во второй день отправили 1348 х 2 = 2696 кг
2) Если в первый день было отправлено 1348 кг , а во второй день 2696 кг, то за два дня отправили 1348 + 2696 = 4044 кг.
3) Если колхоз отправил всего на элеватор 7 тонн (7000 кг) пшеницы, а за первые два дня 4044 т., то в третий день он отправил 7000 – 4044 = 2956 кг.
О т в е т: в третий день колхоз отправил на элеватор 2956 кг пшеницы
7. ЧАСТЬ II. ОСНОВНОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Есть ли единообразный метод решения арифметических задач?
ЧАСТЬ II. ОСНОВНОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Рассмотрим подробно основной метод применительно к примеру 1 и отметим то общее, что есть в любой задаче.
Пример 1. На первой полке было 2 книги, а на второй 3. Сколько книг было на обеих полках?
Р е ш е н и е .
1)Если на первой полке было 2 книги, а на второй 3, то на обеих полках было
2 + 3 = 5 книг.
О т в е т: на двух полках было 5 книг
1. В любой задаче есть УСЛОВИЯ и ВОПРОС.
Прежде чем решить задачу надо понять:
1)какие УСЛОВИЯ даны?
2)ЧТО нужно найти?
3)какой метод применить?
4)после решения надо сделать проверку
5) записать ответ.
2. УСЛОВИЯ в задачах выражаются в виде простых суждений в которых содержатся числа:
S1: “на первой полке было 3 книги”,
S2: “на второй полке было 2 книги”.
Мы видим, что с каждым числом связано некоторое условие (суждение). Нужно найти новое суждение с новым числом 5:
S3: “на двух полках будет 5 книг”.
Р е ш е н и е
1)Если на первой полке было 2 книги, а на второй 3, то на обеих полках было 2 + 3 = 5 книг.
3. В основе всех арифметических действий лежат два логических действия:
Основное Если… , то… , (в курсах математической логики называют, следованием или импликацией).
EСЛИ (S1 и S2), ТО S3
И дополнительное
S1 И S2),
второе логическое действие которое называется логическим умножением. (в курсах математической логики называется конъюнкцией)
Итак, в каждой арифметической задачи имеется 5 сторон.
1)Дано: несколько условий (суждений с числовыми данными).
2)Вопрос: что нужно найти (какое новое суждение надо получить с новым числом).
3)Р е ш е н и е : состоит из одного или несколько арифметических действий (каждое арифметическое действие есть логическое действие вида Eсли S1 и S2, то S3).
4)Проверка: убедиться, что условия задачи выполнены.
5)Ответ.
4. Задачи нужно решать по действиям. Каждое арифметическое действие есть также и логические действия:
Eсли (S1 И S2), то S3
В части I показано, что все задачи из [1] решаются с помощью 4 действий арифметики и всего одного логического действия.
5. Чаще всего задачу решают письменно, отображая все пять сторон. Но по мере накопления опыта, задачу решают сокращённо (не выписывают, что дано, не записывают вопроса, может отсутствовать проверка или не пишут ответ). Все эти сокращения можно делать по усмотрению учителя (и даже нужно сокращать по мере более полного владения учебным материалом) .
В идеале решать задачи устно, затем в уме автоматически нечего не записывая. По воспоминаниям Валерия Адольфовича Рыжика, учителя российского гениального учёного Григория Перельмана, в свои школьные годы Григорий все школьные задачи решал в уме, ничего не записывая, не прибегая к ручке и тетради). Однако следует помнить, что письменное решение и устное решение это совершенно разные навыки и можно научиться решать устно, не умея решить правильно письменно и наоборот. Надо совершенствовать оба навыка, так как они взаимно дополняют друг друга.
8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ 1-4 КЛАСС
ЧАСТЬ VIII. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ
1. Какие числа называются натуральными числами?
Натуральными числами называют числа, предназначенные для счёта предметов.
2. На что указывает любое натуральное число?
Любое натуральное число n указывает на некоторое количество предметов.
3. Что показывает каждое натуральное число?
Каждое натуральное число показывает, сколько единиц оно содержит.
4. Какая последовательность чисел (множество чисел) называется натуральным рядом?
Натуральным рядом N называют последовательность (множество) натуральных чисел, расположенных в порядке счёта предметов (в порядке возрастания) и разделённых запятой.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
5. Какие числа называются равными?
А)Если натуральные числа n и m указывают на одно и тоже количество предметов, то они равны n = m.
Б)Если два натуральных числа стоят на одном и том же месте в натуральном ряду N, то они равны.
В)Если натуральные числа n и m содержат одно и тоже количество единиц, то они равны n = m.
ДЕЙСТВИЯ
Имеются 3 прямых действия: сложение, умножение, возведение в натуральную степень и 4 обратных действия: вычитание, деление, извлечение корня и логарифмирование. Также имеются тригонометрические действия, наиболее важное из них есть тангенс угла.
В начальной школе изучается первые 4 арифметических действия. В пятом классе знакомят с возведением в степень. Извлечение корня и логарифмирование изучают в старшей школе, но по сути, ВО МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ они также являются обратными действиями, как вычитание и деление И ИХ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
Сложение
Задача 1. На левой полке две книги, а на правой три книги. Сколько книг на обоих полках?
Р е ш е н и е .
Если на левой полке две книги, а на правой три книги, то на обоих полках будет 2 + 3 = 5 (кн.)
Ответ: 5 книг
В этом действии по двум заданным числам 2 и 3 находят третье число 5. Числа 2 и 3 слагаемые, а 5 – сумма. Такие действия называются прямыми действиями.
Задача 2. На двух полках пять книг. На второй полке 3 книги. Сколько книг на первой полке?
Р е ш е н и е .
1)Если на двух полках пять книг, а на второй полке 3 книги, то на первой полке будет 5 – 3 = 2 (кн.).
Ответ:2 книги.
Р е ш е н и е с помощью уравнения
Обозначим через x количество книг на первой полке и составим уравнение
ЕСЛИ х + 3 = 5, ТО 5 – 3 = 2;
Ответ: 2 книги.
Кроме того мы познакомились и использовали действие сложения.
6. Какое действие называется сложением?
Сложение двух натуральных чисел есть прямое арифметическое действие, с помощью которого находят количество единиц в обоих числах вместе.
Например: 2 + 3 = 5 означает, что две единицы первого числа объединяются с 3 единицами второго числа и получается новое число 5, содержащее все единицы в двух числах.
7. Как называются компоненты действия сложения?
Компоненты действия сложения называются слагаемыми. Первая компонента называется первым слагаемым, вторая компонента – вторым слагаемым. Результат называется суммой.
8. Какая таблица называется таблицей сложения?
Таблицей сложения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит сумма двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.
Рис.1. Таблица сложения
Правило сложения задаётся таблицей сложения. Сумму двух чисел с помощью таблицы сложения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 + 3 = 5. В первом столбце первое слагаемое m, в верхней строке второе n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение суммы k = m + n. С помощью таблицы сложения можно найти результат сумму с помощью двух стрелок.
Вычитание
9. Какое действие называется вычитанием?
Вычитанием называется арифметическое действие обратное сложению, с помощью которого по заданной сумме и одному известному слагаемому находят другое неизвестное слагаемое.
10. Как называются компоненты действия вычитания?
Первая компонента действия вычитания называется уменьшаемым. Вторая компонента называется вычитаемым.Результат называется разностью.
11. Как по таблице сложения выполнить действие вычитания?
Рис. 4. Способ нахождения неизвестного слагаемого с помощью таблицы сложения.
Если неизвестно первое слагаемое, то имеем равенство, в котором х + 3 = 5 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице сложения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 5 , а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 + х = 5 то двигаемся вправо и вверх.
Иак:
Если х + 3 = 5 , то x = 5 – 3 = 2, (вниз и влево);
Если 2 + х = 5 , то x = 5 – 2 = 3, (вправо и вверх).
Сложение исходное арифметическое действие, первичное понятие, вычитание определяется через сложение, как обратная операция.
Умножение
Задача 3. На 3 полках по 2 книги. Сколько всего книг на трёх полках?
Р е ш е н и е .
1)Если на каждой полке по 2 книги и даны 3 полки, то всего на полках будет 2 х 3 = 6 книг.
О т в е т: на трёх полках будет 6 книг.
12. Какое действие называется умножением?
Умножением называется прямое арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых (количество единиц в одинаковых слагаемых).
Пример
2 х 3 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 = 6
Как называются компоненты действия умножения?
Компоненты действия умножения называются сомножителями. Первая компонента называется первым сомножителем (множимое), вторая - вторым сомножителем (множитель). Результат действия умножения называется произведением.
13. Какая таблица называется таблицей умножения?
Таблицей умножения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит произведение двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.
Рис.2. Таблица умножения
Правило умножения задаётся таблицей умножения, которая основывается на таблице сложения. Произведение двух чисел с помощью таблицы умножения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 х 3 = 6.
В первом столбце первый сомножитель m, в верхней строке второй n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение произведение k = m х n. С помощью таблицы умножения можно найти результат произведение с помощью двух стрелок.
Деление
14. Какое действие называется делением?
Делением называется арифметическое действие обратное умножению, с помощью которого по заданному произведению и одному известному множителю находят другой неизвестный множитель.
15. Как называются компоненты действия деления?
Первая компонента действия деления называется делимым. Вторая компонента называется делителем. Результат действия деления называется частным.
Рис.5. Способ нахождения неизвестного сомножителя с помощью таблицы умножения. Если неизвестно первый сомножитель, то имеем равенство, в котором х × 3 = 6 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице умножения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 6, а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 × х = 6, то двигаемся вправо и вверх.
Если х × 3 = 6 , то x = 6/3 = 2, (вниз и влево);
Если 2 × х = 6, то x = 6/2 = 3, (вправо и вверх).
Возведение в степень и две обратные операции рассматриваются в более старших классах (5-11)
Нахождение неизвестных компонент действий (1-6 классы)
16. Как найти неизвестное слагаемое?
Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно от суммы вычесть известное слагаемое.
Если n + x = k, то x = k – n
17. Как найти неизвестное уменьшаемое?
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое.
Если x – n = k, то x = k + n
18. Как найти неизвестное вычитаемое?
Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно от уменьшаемого вычесть разность.
Если m – x = k , то x = m – k
19. Как найти неизвестное делимое?
Чтобы найти неизвестное делимое нужно частное умножить на делитель.
Если x/n = k , то x = k × n
20. Как найти неизвестный сомножитель?
Чтобы найти неизвестный сомножитель нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Если n x x = k , то x = k/n
21. Как найти неизвестный делитель?
Чтобы найти неизвестный делитель надо делимое разделить на частное.
Если m/x = k, то x = m/k
22. Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?
Чтобы узнать на сколько единиц одно число больше или меньше другого надо из большего числа вычесть меньшее.
23. Как узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого?
Чтобы узнать во сколько раз одно число больше или меньше другого надо большее число разделить на меньшее.
Основные правила действий
(всего 12 правил) (2-7 классы)
24. Как можно к числу прибавить сумму?
Чтобы к числу прибавить сумму можно к этому числу прибавить любое из слагаемых, а к полученной сумме прибавить второе слагаемое.
m + (n + l) = (m + n) + l = (m + l) + n.
Например: 27 + (13 +9) =(27 +13) +9 = 40 +9 =49
25. Как можно к сумме прибавить число?
Чтобы к сумме прибавить число можно к любому из слагаемых прибавить это число, а к полученной сумме прибавить второе слагаемое.
(m +n) + l = (m+ l) + n = (n + l) + m.
26. Как можно от числа вычесть сумму?
Чтобы из числа вычесть сумму можно из этого числа вычесть одно из слагаемых, а затем из полученного результата вычесть другое слагаемое.
m – (n + l) = (m – n) – l = (m – l) – n
Например: 27 − (17 +4) = (27 − 17) − 4 = 10 − 4 = 6
27. Как можно из числа вычесть разность?
Чтобы из числа вычесть разность, можно из этого числа вычесть уменьшаемое и к полученному результату прибавить вычитаемое
m – (n – l) = (m – n) + l
Например: 27 − (17 − 9) = (27 − 17) + 9 = 10 + 9 = 19
28. Как можно от суммы вычесть число?
Чтобы из суммы вычесть число можно из любого слагаемого вычесть это число, а затем к полученному результату прибавить второе слагаемое.
(m + n) –l = (m – l) + n = (n – l) + m
29. Как можно из разности вычесть число?
Чтобы из разности вычесть число можно из уменьшаемого вычесть это число и от полученного результата вычесть вычитаемое.
(m – n) –l = (m – l) – n
30. Как можно число умножить на произведение?
Чтобы число умножить на произведение, можно это число умножить на первый сомножитель, а затем полученный результат умножить на другой сомножитель.
m × (n × k) = (m × n) × k = (m × k) × n
Например: 6 × (5 × 9) = (6 × 5) × 9 = 30 × 9 = 270
31. Как можно произведение умножить на число?
Чтобы произведение умножить на число можно первый сомножитель умножить на это число, а затем полученное произведение умножить на второй сомножитель.
(m × n) × k = (m × k) × n = (n × k) × m
Например: (5 × 9) × 6 = (5 × 6) × 9 = 30 × 9 = 270
32. Как можно произведение разделить на число?
Чтобы произведение разделить на число можно любой сомножитель разделить на это число, и полученное частное умножить на второй сомножитель.
(m × n) / k = (m / k) × n = (n / k) × m
Например: (12 × 9) : 6 = (12 : 6) × 9 = 2 × 9 = 18
33. Как можно сумму умножить на число?
Чтобы сумму умножить на число можно каждое из слагаемых умножить на это число, а результаты сложить.
(m + n) х l = m х l + n х l
Например: (5 + 9) × 6 = 5 × 6 + 9 × 6 = 30 + 54 = 84
34. Как можно сумму разделить на число?
Чтобы сумму разделить на число можно каждое из слагаемых разделить на это число, а результаты сложить.
(m + n) / l = m/ l + n/l
Например: 6 × (5 × 9) = (6 × 5) × 9 = 30 × 9 = 270
35. Как можно разность разделить на число?
Чтобы разность разделить на число можно уменьшаемое и вычитаемое разделить на это число и из первого результата вычесть второй.
(m –n) / l = m/ l – n/l
36. Как можно число разделить на произведение?
Чтобы число разделить на произведение можно это число разделить на любой сомножитель и полученное частное разделить на другой сомножитель.
m / (n × k) = (m / n)/k = (n / k) /m
Основные законы действий (1-7 классы)
37. Сформулировать переместительный закон для сложения
От перемены мест слагаемых сумма не меняется
a + b = b + a.
Так, сумма 2+3 всегда равна 5 , в каком бы порядке не производилось сложение
2 + 3 = 3 +2 .
Это свойство принято называть переместительным законом сложения, так как оно состоит в том, что слагаемые можно перемещать (переставлять), не изменяя суммы.
38. Сформулировать закон перестановочности для умножения.
От перемены мест множителей произведение не меняется
a x b = b х a.
Сомножители можно переставлять местами, при этом произведение не меняется.
39. Сформулировать сочетательный закон для сложения.
Любую группу рядом стоящих слагаемых можно заменить их суммой
(a + b) + c = b + (a + c).
Это свойство называется сочетательным законом сложения, так как оно состоит в том, что любые слагаемые можно сочетать (соединять) в одно число.
Например: 23 + (17 +18) = (23 + 17) + 18
40. Сформулировать сочетательной закон для умножения
Любую группу рядом стоящих множителей можно заменить их произведением
a х b х c = (a х b) х c = a х (b х c).
Например, в произведении 3× 4 ×5× 2 удобно последние два сомножителя объединить в одну группу 3× 4 × (5× 2) = 3× 4 × 10 = 12× 10 =120 и результат то же самое число, как если бы произвели умножение не соединяя сомножители.
41. Сформулировать распределительный закон
Чтобы умножить число на сумму можно это число умножить на первое слагаемое и на второе и результаты сложить
Если a х (b + c) = a х b + a х c.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА (1-7 классы)
42. Сформулировать два признака равенства двух чисел.
А) Если разность двух чисел равна нулю, то числа равны.
Если m – n = 0, то m = n
Б) Если частное двух чисел равно единице, то числа равны
Если m/n = 1, то m = n
Законы изменение результатов действий в зависимости от изменения их компонентов
(6 законов) (3-7 классы)
43. Как изменяется сумма с изменением слагаемых?
Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц.
Если m + n = k, то (m ± l) + n = k ± l.
44. Как изменяется произведение с изменением сомножителей?
Если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то и произведение увеличится или уменьшится во столько же раз.
Если m х n = k, то (ml) х n=kl
Если m х n=k, то (m/l) х n=k/l,
45. Как изменяется разность с изменением уменьшаемого.
Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и разность увеличится или уменьшится на столько же единиц.
Если m – n = k, то (m ± l) – n = k ± l.
46. Как изменяется разности с изменением вычитаемого.
Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность наоборот уменьшится или увеличится на столько же единиц.
Если m – n = k, то m– (n+l) = k – l.
Если m – n = k, то m– (n–l) = k + l.
47. Как изменяется разность с одновременным изменением уменьшаемого и вычитаемого?
Если одновременно, и уменьшаемое, и вычитаемое увеличить или уменьшить на некоторое одинаковое количество единиц, то разность не изменится.
Если m – n = k, то (m + l) – (n + l) = k – l.
48. Как изменяется частное с изменением делимого?
Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное тоже увеличится или уменьшится во столько же раз.
Если m/n=k, то (ml)/n=kl),
Если m/n=k, то (m/l)/n=k/l).
49. Как изменяется частное с изменением делителя?
Если делитель увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то частное наоборот уменьшится (или увеличится) во столько же раз.
Если n/т=k то n/(тl)=k/l
Если n/т=k то n/(т/l)=kl
(4-6 классы)
50. Что называется скоростью движения тела?
Скорость движения есть путь пройдённый телом за одну единицу времени.
51. Как найти скорость движения тела?
Чтобы найти скорость движения тела надо расстояние (путь), пройдённое телом, разделить на время, за которое оно пройдено
.
Расстояние пройденное телом равно скорости умноженной на время . Время движения тела равно .
52. Что такое стоимость покупки?
Стоимость покупки С это количество денег за всю покупку.
53. Что называется ценой товара?
Ценой товара называется количество денег за одну единицу товара.
54. Как найти цену товара?
Чтобы найти цену товара надо стоимость всей покупки разделить на количество товара .
55. Что называется производительностью работы?
Производительностью называется работа, выполненная за одну единицу времени.
56. Как найти производительность работы?
Чтобы найти производительность надо всю работу разделит на время, за которое выполнена работа . Вся работа равна производительности умноженной на время . Время работы равно всей работе делённой на производитеьность
Основные геометрические понятия (3-11 класс)
57. Что называется длиной данного отрезка?
Длиной данного отрезка называется число, которое показывает количество единичных отрезков умещающихся в данном отрезке.
58. Что называется площадью данного прямоугольника?
Площадь данного прямоугольника называется число, которое показывает количество единичных квадратиков, умещающихся в данном прямоугольнике.
59. Что называется объёмом данного параллелепипеда?
Объёмом данного параллелепипеда называется число, которое показывает, сколько единичных кубиков умещается в данном параллелепипеде
Литература
1. Узорова О.В., Нефёдова Е.А. 2500 задач по математике. 1-4 классы. М.: Астрель. 2011. (Аст. 2016, Аст. 2019)
2. Шевченко Н.И. Арифметика. Учебник для 5 и 6 классов восьмилетней школы. Просвещение. 1965.
